materi BILANGAN SMP KELAS VII

BILANGAN

A.      Jenis – Jenis Bilangan

a.    Bilangan Bulat

Bilangan bulat adalah bilangan yang terdiri atas bilangan bulat positif, bilangan bulat negative, dan bilangan nol. Pecahan tidak termasuk ke dalam bilangan bulat.

Contoh : …, -3, -2 , -1 , 0, 1, 2, 3, …

b.   Bilangan Cacah

Bilangan cacah adalah bilangan bulat positif yang dimulai dari angka 0 (nol) sampai tak terhingga.

Contoh : 0, 1, 2, 3, 4,5, …

c.    Bilangan Asli

Bilangan Asli adalah bilangan bulat positif yang dimulai dari angka 1 (satu) sampai tak terhingga.

Contoh : 1, 2, 3, 4, 5, …

d.   Bilangan Prima

Bilangan Prima adalah bilangan yang tepat mempunyai dua factor, yaitu angka 1(satu) dan bilangan itu sendiri.

Contoh : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, …

e.   Bilangan Komposit

Bilangan Komposit adalah bilangan cacah yang bukan bilangan 0 (nol), 1(satu), dan bilangan prima.

Contoh : 4, 6, 8, 9, 10, 12

f.     Bilangan Rasional

Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai suatu pembagian antara dua bilangan bulat.

Contoh :  ,  , , …

g.    Bilangan Irrasional

Bilangan irrassional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam pembagian bilangan bulat.

Contoh : π =  ,  , log 3, …

h.   Bilangan Rill (bilangan nyata)

Bilangan rill adalah bilangan yang merupakan penggabungan dari bilangan rasional dan bilangan irrasioanal.

Contoh  :   ,  π,  log 3, …

i.      Bilangan Imajinner(bilangan khayal)

Bilangan imajinner di definisikan sebagai   dan ditandai dengan huruf “I” . jadi, I =   dan i² = -1.

Contoh :  =  =  x  = 3i.

j.     Bilangan Kompleks

Bilangan Kompleks adalah bilangan yang merupakan gabungan dari bilangan rill dan bilangan imajiner.

Contoh : log  = i; πi = π

B.   Bilangan Bulat

a.    Pengertian bilangan bulat

·      Bilangan bulat dinotasikan dengan

B = (…, -3, -2, -1, 0 ,1, 2, 3, …)

·      Bilangan bulat dibagi menjadi tiga jenis :

1.    Bilangan bulat negative (…, -3, -2, -1, …)

2.    Bilangan bulat nol (0)

3.    Bilangan bulat positif ( 1, 2, 3, 4, …)

b.   Invers (lawan suatu bilangan )

Contoh :

·      Lawan dari 3 adalah -3

·      Lawan dari 9 adalah -9

c.    Menyatakan hubungan antara dua bilangan bulat

·      Tanda “>” untuk menunjukkan nilai suatu angka yang “ lebih dari”

Contoh : 5 > 3

·      Tanda “<” untuk menunjukkan nilai angka yang “kurang dari”

Contoh : 2 < 7

d.   Operasi hitung pada bilangan bulat

1.    Penjumlahan

Pada penjumlahan bilangan bulat, suku yang sejenis dapat di gabungkan.

Contoh :

5x + 10 x = 15x

2x + 3x + 7y + 4y = 5x + 11y

6x + 8x + 2y + 4y + 8z + 9z = 14x + 6y + 17z

2.    Pengurangan

·      a – b

contoh : 5 – 3 = 2

·      a – (-b) = a + b

contoh : 24 – (-12) = 36

·      -a – b = - (a+b)

Contoh : -11 – 3 = -14

·      (-a) – (-b) = (-a) + b            

Contoh : - 24 – (-2) = - 24 + 2 = -22

3.    Perkalian

Rumus :

·      (+) x (+) = (+)

     Contoh : 5 x 4 =20

·      (+) x (-) = (-)

Contoh  : 5 x (-7) = -35

·      (-) x (+) = (-)

Contoh : (-4) x (5) = -20

·      (-) x (-) = (+)

Contoh : (-2) x (-3) = 6

4.    Pembagian

Rumus :

·      (+) : (+) = (+)

Contoh : 25 : 5 = 5

·      (+) : (-) = (-)

Contoh : 24 : (-6) = -4

·      (-) : (+) = (-)

Contoh : (-35) : 7 = 5

·      (-) : (-) = (+)

Contoh : (-72) : (-8) = 9

5.    Perpangkatan bilangan bulat

Rumus :

·      aⁿ = a x a x a x a x ………. X a_n

Contoh : 2⁴ = 2 x 2 x 2 x 2 = 16

·      (-a)ⁿ =aⁿ, jika n adalah bilangan genap.

Contoh : (-3)² = -3 x (-3) = 3² = 9

·      (-a)ⁿ = -a^n,,jika n adalah bilangan ganjil.

Contoh : (-5)³ = (-5) x (-5) x (-5) = -(5)³ = -125

·      a^-n =  

contoh : 7^-2 =  =

·      a^m x b^m = (a x b)^m

contoh : 5² x 7² = (5 x 7)² = (35)² = 1225

·      a^m x aⁿ = a^m+n

contoh : 3³ x 3² = 3³⁺² = 3⁵ = 243

·       = a^m-n

Contoh : 5⁷ : 5⁵ =5^7-2 = 5²

·       =

Contoh :  = =

·       (a^m)ⁿ = a^{m x n}

Contoh : (3³)² = 3 ^{3 x 2} = 3 ⁶ = 729

e.   Bentuk akar

Rumus :

1.     =  x

Contoh :  =  +  = 4 + 5 = 9

2.     =

Contoh :  =  =

3.    a + b = (a  + b)

contoh : 3 + 5 = 8

4.    a - b = (a  -  b)

contoh : 8 - 2 = 6

 =

Contoh :   =

C.   Operasi Hitung Pada Bilangan cacah

a.    Sifat penjumlahan pada bilangan cacah

·      Sifat komutatif (pertukaran)

          a + b = b + a

          contoh : 7 + 5 = 5 + 7

·      Sifat asosiatif (pengelempokkan)

(a + b) + c = a + (b + c)

Contoh : (5 + 3) + 2 = 5 + ( 3 + 2)

·      Unsur identitas pada penjumlahan

a + 0 = 0 + a

contoh : 34 + 0 = 0 + 34

·      Sifat tertutup

Misalkan a dan b adalah bilangan bulat dan jika berlaku “a + b = c” juga merupakan bilangan bulat.

Contoh :   3 + 4 = 7

                    -4 + 2 = 2

b.   Sifat pengurangan pada bilangan cacah

      Pengurangan adalah operasi kebalikan dari penjumlahan.

Jika : a - b = c maka a = b + c

Contoh : a – 5 = 17

                          a = 17 + 5

                          a = 22

c.    Distributive pada penjumlahan dan pengurangan

(a + b) x c = (a x c) + (b x c)

(a – b) x c = (a x c) – (b x c)

Contoh :

·      (5 + 2) x 3 = (5 x 3) + (2 x 3)

7 x 3 = 15 + 6

21 = 21

·      (7 – 2) x 4 = (7 x 4) – (2 x 4)

5 x 4  = 28 – 8

20 = 20

d.   Sifat perkalian pada bilangan cacah

1.    Sifat komutatif (pertukaran)

a x b = b x a

contoh : 5 x 7 = 7 x 5

2.    Sifat asosiatif (pengelompokkan)

a x ( b x c) = ( a x b) x c

contoh : 5 x (7 x 3) = (5 x 7) x 3

3.       Unsur identitas pada perkalian

Unsur identitas pada operasi perkalian adalah bilangan 1(satu)

          a x 1 = 1 x a = a

contoh : 25 x 1 = 1 x 25 = 25

e.   Pembagian

Pembagian adalah operasi kebalikan dari perkalian.

Jika a : b = c maka a = c x b

Contoh : a : 3 = 5

                       a =3 x 5

                       a = 15

f.     Kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dan factor persekutuan terbesar (FPB)

Dalam menentukan KPK dan FPB dapat digunakan dua cara yaitu :

1.    KPK dicari dengan cara mengurutkan kelipatan bilangan – bilangan tersebut  kemudian dicari kelipatan yang sama dan terkecil.

Contoh :

Tentukan kelipatan KPK dari 6 dan 8!

Kelipatan 6 : (6, 12, 18, 24, 30, 36)

Kelipatan 8: (8, 16, 24, 32, 40, 48)

Jadi, KPK dari 6 dan 8 adalah 24.

2.    Menggunakan faktorisasi prima

Contoh :

Tentukanlah nilai KPK dan FPB dari 24, 36, dan 60!

Maka, faktorisasi prima dari :

24 adalah : 2 x 2 x 2 x 3 = 2³ x 3

36 adalah : 2 x 2 x 3 x 3 = 2² x 3²

60 adalah : 2 x 2 x 3 x 5 = 2² x 3 x 5

KPK  = 2³ x 3² x 5

          = 8 X 9 X 5 = 360

FPB  = 2² X 3

          = 4 X 3 = 12

D.   Bilangan Pecahan

Pecahan dilambangkan dengan  , dengan syarat b ≠ 0

 =

a.    Sifat bilangan pecahan

1.    Pecahan sebenarnya

Pecahan sebenarnya adalah pecahan dimana pembilangnya lebih kecil daripada penyebutnya.

Contoh :  ,  ,

2.    Pecahan campuran

Pecahan campuran adalah pecahan dimana pembilangnya lebih besar daripada penyebutnya

Contoh :  = 1  ,  =4 

3.    Pecahan senilai

Pecahan senilai adalah pecahan yang pembilang dan penyebutnya dikalikan dengan bilangan yang sama sehingga nilai pecahanya tidak berubah.

 Contoh :  x  =

                     nilainya sama dengan  

4.    Menentukan besar pecahan

Contoh :

Tentukan pecahan yang lebih besar antara  atau  !

Penyebutnya adalah 4 dan 6. KPK dari 4 dan 6 adalah 12. Agar penyebut memiliki jumlah yang sama maka pecahan  dikalikan dengan pecahan lain.

 x  =  ;  x  =

Karena   >  maka

b.      Mengubah pecahan ke bentuk lain

1.       Mengubah pecahan menjadi bentuk decimal

Contoh :

Tentukan nilai  dalam bentuk decimal !

 x  =  = 0,15

Jadi, bentuk decimal dari  adalah 0,15.

2.       Mengubah pecahan menjadi bentuk persen (%)

Contoh :

Tentukan bentuk persen dari  !

 x  =  = 40%

Jadi, bentuk persen dari  adalah 40 %.

c.       Operasi pada pecahan

1.       Penjumlahan dan pengurangan

Ø  Jika penyebutnya sudah sama, pembilang langsung ditambahkan atau dikurangkan.

 +  =  

 -  =

Contoh :

 +  =  =

 -  =  =  = 1

Ø  Jika penyebutnya berbeda

Cara 1 : menggunakan perkalian silang

Rumus :

 +  =  

 -   =  

Contoh :

 +  =  

         =  =      

 -   =

         =  =

Cara 2 : menyamakan penyebutnya dengan mencari nilai KPK

Contoh :

 +  =  +  =

 -  =  -  =

2.       Perkalian pecahan

Rumus :

 x  =

Contoh :

 x  =  =

3.       Pembagian pecahan

Ø  Pembagian pecahan dengan bilangan bulat.

Rumus :

 : c =

Contoh :

 : 3 =  = 

Ø  Pembagian pecahan dengan pecahan .

Rumus :

 :  =  x  =

Contoh :

 :  =  x  = = 

E.       Bilangan bulat

a² = a x a

(-a)² = (-a) x (-a) = a²

a.       Penjumlahan bilangan kuadrat

Rumus :

(a + b)² = a² + (2 x a x b)  + b²

Contoh :

(4 + 3)² = 4² + (2 x 4 x 3) + 3²

                = 16 + 24 + 9 = 49

b.      Pengurangan bilangan kuadrat

Rumus :

(a – b)² = a² – (2 x a x b) + b²

Contoh  :

(7 – 3)² = 7² – (2 x 7 x 3) + 3²

                = 49 – 42 + 9 = 16

c.       Perkalian bilangan kuadrat

Rumus :

a² x b² = (a x b)²

contoh :

3² x 4² = (3 x 4)² = 12² = 144

d.      Pembagian bilangan kuadrat

Rumus :

a² : b² = (a : b)²

contoh :

12² : 4² = (12 : 4)² =3² = 9

F.       Bentuk baku

Bentuk umum :

a x 10ⁿ

contoh :

1.       Tentukan bentuk baku dari masa bumi!

Diketahui masa bumi = 5.980.000.000.000.000.000.000.000 kg maka bentuk bakunya adalah 5,98 x 10²⁴ kg

2.       Tentukan bentuk baku dari 630.000!

630.000 = 63 x 10⁴

                = 6,3 x 10⁵

3.       Tentukan bentuk baku dari 0,000035 !

0,000035 = 3,5 x 10^-5